Fungsifungsi f(x) = sin x dan g(x) = tan x, keduanya memiliki turunan yang bisa dideferensialkan yakni turunan sin x merupakan f'(x) = cos x dan turunan cos x yaitu g'(x) = sec 2 x. Hal ini bisa dibuktikan dengan mudah yaitu dengan menggunakan rumus f'(x) = limh→0fx+h-f(x)h, sehingga bisa ditentukan rumus turunan fungsi trigonometri. Turunanfungsi trigonometri - Banyak permasalahan sehari-hari yang menggunakan konsep turunan fungsi dalam penyelesaiannya, b.Turunan Fungsi Secan Jika f(x) = sec x, maka f'(x) = tan x . sec x [Pembuktian] c.Turunan Fungsi Trigonometri Cotangen. Jika f(x) = cot x, maka, Turunantrigonometri mérupakan suatu persamaan yáng melibatkan bérbagai fungsi trigonometri séperti sin, cos, tán, cot, sec dán juga csc. Fungsi-fungsi f(x sin x dan g(x) tan x, keduanya memiliki turunan yang bisa dideferensialkan yakni turunan sin x merupakan f(x) cos x dan turunan cos x yaitu g(x) sec2x. Tentukanturunan pertama dari fungsi berikut. f (x)=sec^5 x. Turunan Trigonometri. Turunan Fungsi Trigonometri. KALKULUS. Matematika. Cek video lainnya. Teks video. Sukses nggak pernah instan. Latihan topik lain, yuk! Berikutnyakita akan pelajari turunan fungsi trigonometri dan contohnya yang lebih kompleks, yaitu menggunakan rumus pengembangan. 2. Contoh Soal Turunan Fungsi Trigonometri Menggunakan Rumus Pengembangan I. Rumus ini merupakan pengembangan dari rumus dasar turunan trigonometri yang menggunakan aturan rantai, jadi sebaiknya kamu pahami dulu Cosecanthiperbolik : csch x = x sinh 1 = x x e e 2 − − Persamaan dasar mirip dengan fungsi trigonometri biasa: Fungsi Hiperbolik Fungsi Trigonometri a. tanh x = x coth 1 tan x = x cot 1 b. cosh 2 x - sinh 2 x = 1 cos 2 x + sin 2 x = 1 c. 1 - tanh 2 x = sech 2 x 1 + tan 2 x = sec 2 x d. LatihanTugas Soal Turunan Fungsi trigonometri tan, cot, sec dan cosec. Tentukan fI (x) dari fungsi f (x) berikut ini. a. f (x) = cot 3x. b. f (x) = tan 2x. c. f (x) = sec 2x. d. f (x) = cosec ( 3x + 1 ) e. f ( x) = t a n 2 ( 2 x 2 + 1) Kerjakan sesuai dengan yang ada di pembahasan contoh soal di youtube!! Note : Khusus siswa/siswi SMA Wijaya Turunandan Integral Fungsi Trigonometri yang Perlu Diingat. Salah satu materi matematika yang dianggap sulit oleh para siswa adalah trigonometri. Terlebih lagi, apabila ternyata yang dipelajari adalah turunan ataupun integral trigonometri. Sulit atau tidaknya suatu materi tergantung dari cara kita memandangnya. Rumusrumus Dasar Turunan Fungsi Trigonometri Berikut rumus-rumus dasar turunan fungsi trigonometri : i). $ y = \sin x \rightarrow y^\prime = \cos x $ ii). $ y = \cos x \rightarrow y^\prime = -\sin x $ iii). $ y = \tan x \rightarrow y^\prime = \sec ^2 x $ iv). $ y = \cot x \rightarrow y^\prime = -\csc ^2 x $ Turunanfungsi f ( x) cos x lim f ( x h) f ( x ) lim f 1 ( x) = h 0 h h 0 cos( x h) cos x h lim 2 sin 12 2 x h sin 12 h = h 0 h sin 12 h sin x h . h 0 lim 1 lim 12 h = h 0 2 = - sin x . 1 = - sin x d Jadi cos x sin x dx Dengan jalan sama dapat dicari turunan: tan x, cot x, sec x dan cosec x. LimitTrigonometri Rumus Turunan Fungsi Trigonometri Berikut ini adalah beberapa turunan dasar trigonometri yang wajib diketahui sebelum anda memecahkan persoalan turunan trigonometri: f(x) = sin x → f '(x) = cos x f(x) = cos x → f '(x) = −sin x f(x) = tan x → f '(x) = sec2 x f(x) = cot x → f '(x) = −csc2x f(x) = sec x → f '(x) = sec x . tan x f(x) = csc x → f '(x Sebenarnyaada cara mudah untuk mencari turunan dari fungsi tangen, yakni kita dapat gunakan kesamaan tanx = sinx cosx tan x = sin x cos x dan kemudian menerapkan rumus turunan untuk hasil bagi dua fungsi. Misalkan u = sinx u = sin x dan v = cosx v = cos x , maka berdasarkan turunan untuk hasil bagi, kita peroleh Turunan Fungsi cscx,secx csc x, sec LOGARITMADAN TRIGONOMETRI. Turunan Logaritma « Istana Mengajar. Pt 2 Turunan Fungsi Eksponen Logaritma Implisit Dan. Logaritma Wikipedia APRIL 21ST, 2018 - PT 2 TURUNAN FUNGSI EKSPONEN LOGARITMA IMPLISIT DAN CYCLOMETRI D4 1 MATEMATIKA OLEH DR PARULIAN SILALAHI M PD HTTP RUMUS DASAR 1 Y A LOG X Y''Logaritma Wikipedia bahasa Turunanfungsi trigonometri merupakan subtopik differensial yang cukup rumit karena tidak hanya harus memahami konsep turunan, tetapi kita juga harus memahami konsep trigonometri. Pada turunan fungsi trigonometri terdapat beberapa ketetapan umum yang sudah menjadi acuan dasar untuk menyelesaikan soal-soal. = sec x. tan x f(x) = tan x f '(x Dalamhal ini, terdapat beberapa rumus khusus dalam turunan fungsi trigonometri. Lebih lanjut, rumus trigonometri ini dikembangkan lagi menjadi turunan fungsi. Sesuai dengan sebutannya, fungsi ini untuk menemukan turunan dari fungsi trigonometri atau tingkat perubahan yang terjadi terkait suatu variabel. Turunan dari f (x) = sec u adalah f jHIX. pada kesempatan sebelum sudah dibahas tentang materi aturan-aturan turuan dan sekarang akan membahas tentang materi turunan fungsi trigonometri serta pembuktianya menggunakan definisi turunan. Apasih turunan trigonometri itu? Turunan trigonometri adalah persamaan turunan yang melibatkan fungsi-fungsi trigonometri seperti sin, cos, tan, sec, csc, dan cot. Untuk lebih lanjut, mari simak penjelasan berikut ini. 1. Turunan Fungsi sin x Untuk menghitung turunan dari fx = sin x, kita perlu mengkombinasikan limit dengan identitas jumlah sudut untuk fungsi sinus sin x + h = sin x. cos h + cos x. sin h Jika fx = sin x, maka Sehingga, turunan dari fungsi sin x adalah 2. Turunan Fungsi cos x Untuk menghitung turunan dari fx = cos x, kita perlu mengkombinasikan limit dengan identitas jumlah sudut untuk fungsi cosinus cos x + h = cos x. cos h - sin x. sin h Jika fx = cos x, maka Sehingga, turunan dari fungsi cos x adalah 3. Turunan Fungsi tan x Untuk menghitung turunan dari fx = tan x, kita perlu menggunakan aturan-aturan turunan pada hasil bagi/pembagian. Kemudian gunakan turunan fungsi sin x dan cos x yang sudah dicari. Jika fx = tan x, maka Sehingga, turunan dari fungsi tan x adalah 4. Turunan Fungsi sec x Untuk menghitung turunan dari fx = sec x, kita perlu menggunakan aturan-aturan identitas trigonometri dan aturan pembagian dalam turunan. Jika fx = sec x, maka Sehingga, turunan fungsi sec x adalah 5. Turunan Fungsi csc x Caranya sama dengan mencari turunan fungsi sec x, yaitu dengan menggunakan aturan identitas trigonometri csc x dan aturan pembagian turunan Jika fx = csc x, maka Sehingga, turunan dari csc x adalah 6. Turunan Fungsi cot x Ulangi lagi cara yang sama yang dilakukan diatas. yaitu gunakan aturan identitas dan aturan turunan dalam pembagian Jika fx = cot x, maka Sehingga turunan dari fungsi cot x adalah Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri I Berikut ini merupakan turunan dari fungsi- fungsi rumus sin, cos, tan, sec, csc, dan tan dalam variabel sudut ax, dimana a adalah bilangan real dengan a ≠ 0 fx = sin ax, maka f'x = a cos ax fx = cos ax, maka f'x = -a sin ax fx = tan ax, maka f'x = a sec2 ax fx = sec ax, maka f'x = a sec ax. tan ax fx = csc ax, maka f'x = -a csc ax. cot ax fx = cot ax, maka f'x = -a csc2 ax Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri II Berikut ini merupakan turunan dari fungsi – fungsi rumus sin cos tan, sec, csc, dan tan dalam variabel sudut ax + b, dimana a dan b adalah bilangan real dengan a ≠ 0 Jika, fx = sin ax + b, maka f'x = a cos ax + b fx = cos ax + b, maka f'x = -a sin ax + b fx = tan ax + b, maka f'x = a sec2 ax + b fx = sec ax + b, maka f'x = a sec ax + b. tan ax + b fx = csc ax + b, maka f'x = -a csc ax + b. cot ax + b fx = cot ax + b, maka f'x = -a sec2 ax + b Contoh Untuk memahami turunan fungsi trigonometri yang sudah dijelaskan diatas, sebaiknya kita berlatih mengerjakan soal. Silahkan klik link yang sudah saya sediakan {latihan soal turunan fungsi trigonometri}. Blog Koma - Pada kesempatan kali ini kita akan melanjutkan pembahasan materi turunan khususnya materi turunan fungsi trigonometri. Sebelumnya juga sudah kita bahas materi "definisi turunan secara umum" dan "turunan fungsi aljabar". Untuk turunan fungsi trigonometri ini, kita akan langsung menggunakan rumus dasar turunan fungsi trigonometri. Sementara untuk pembuktiannya, tetap menggunakan definisi turunan secara umum. Dan juga kita harus mengingat kembali rumus trigonometri pada materi trigonometri sebelumnya. Rumus-rumus Dasar Turunan Fungsi Trigonometri Berikut rumus-rumus dasar turunan fungsi trigonometri i. $ y = \sin x \rightarrow y^\prime = \cos x $ ii. $ y = \cos x \rightarrow y^\prime = -\sin x $ iii. $ y = \tan x \rightarrow y^\prime = \sec ^2 x $ iv. $ y = \cot x \rightarrow y^\prime = -\csc ^2 x $ v. $ y = \sec x \rightarrow y^\prime = \sec x . \tan x $ vi. $ y = \csc x \rightarrow y^\prime = -\csc x . \cot x $ Untuk pembuktiannya ada di bagian paling bawah pada artikel ini. Dan bentuk $ \csc x \, $ sama dengan $ cossec \, x $ . Contoh 1. Tentukan turunan fungsi trigonometri berikut a. $ y = \sin x . \cos x $ b. $ y = \sin x + 1 \tan x - \sec x $ c. $ \begin{align} y = \frac{1 + \cot x }{\sin x + \cos x } \end{align} $ Penyelesaian a. Turunan perkalian fungsi , $ y = \sin x . \cos x $ Misalkan $ U = \sin x \rightarrow U^\prime = \cos x $ dan $ V = \cos x \rightarrow V^\prime = -\sin x $ *. Rumus dasar $ \cos 2x = \cos ^2 x - \sin ^2 x $ *. Menentukan turunannya $ \begin{align} y & = \sin x . \cos x \\ y & = \\ y^\prime & = U^\prime . V + \\ & = \cos x . \cos x + \sin x . -\sin x \\ & = \cos ^2 x - \sin ^2 x \\ & = \cos 2x \end{align} $ Jadi, diperoleh $ y = \sin x . \cos x \rightarrow y^\prime = \cos ^2 x - \sin ^2 x = \cos 2x $ b. Turunan perkalian fungsi , $ y = \sin x + 1 \tan x - \sec x $ Misalkan $ U = \sin x + 1 \rightarrow U^\prime = \cos x $ dan $ V = \tan x - \sec x \rightarrow V^\prime = \sec ^2 x - \sec x . \tan x = \sec x \sec x - \tan x $ *. Menentukan turunannya $ \begin{align} y & = \sin x + 1 \tan x - \sec x \\ y & = \\ y^\prime & = U^\prime . V + \\ & = \cos x . \tan x - \sec x + \sin x + 1 .\sec x \sec x - \tan x \end{align} $ Jadi, diperoleh $ y = \sin x + 1 \tan x - \sec x , \, $ turunannya adalah $ y^\prime = \cos x . \tan x - \sec x + \sin x + 1 .\sec x \sec x - \tan x $ c. Turunan pembagian fungsi , $ \begin{align} y = \frac{1 + \cot x }{\sin x + \cos x } \end{align} $ Misalkan $ U = 1 + \cot x \rightarrow U^\prime = -\csc ^2 x $ dan $ V = \sin x + \cos x \rightarrow V^\prime = \cos x - \sin x $ *. Ingat rumus identitas dan sudut rangkap pada trigonometri, *. Menentukan turunannya $ \begin{align} y & = \frac{1 + \cot x }{\sin x + \cos x } \\ y & = \frac{U}{V} \\ y^\prime & = \frac{U^\prime . V - U. V^\prime}{V^2} \\ & = \frac{-\csc ^2 x . \sin x + \cos x - 1 + \cot x. \cos x - \sin x }{\sin x + \cos x ^2} \\ & = \frac{ -\csc ^2 x \sin x - \csc ^2 x \cos x - \cos x +\sin x - \cot x \cos x + \cot x \sin x }{ \sin ^2 x + \cos ^2 x + 2\sin x \cos x } \\ & = \frac{ - \frac{1}{\sin ^2 x} . \sin x - \csc ^2 x \cos x - \cos x +\sin x - \cot x \cos x + \frac{\cos x}{\sin x} . \sin x }{ 1 + 2\sin x \cos x } \\ & = \frac{ - \frac{1}{\sin x} - \csc ^2 x \cos x - \cos x +\sin x - \cot x \cos x + \cos x }{ 1 + \sin 2x } \\ & = \frac{ - \frac{1}{\sin x} - \csc ^2 x \cos x +\sin x - \cot x \cos x }{ 1 + \sin 2x } \\ & = \frac{ - \csc x - \csc ^2 x \cos x +\sin x - \cot x \cos x }{ 1 + \sin 2x } \end{align} $ Jadi, diperoleh $ \begin{align} y = \frac{1 + \cot x }{\sin x + \cos x } \end{align} \, , $ turunannya adalah $ \begin{align} y^\prime = \frac{ - \csc x - \csc ^2 x \cos x +\sin x - \cot x \cos x }{ 1 + \sin 2x } \end{align} $ Rumus-rumus Turunan Fungsi Trigonometri yang lebih kompleks Berikut rumus-rumus turunan fungsi trigonometri yang lebih kompleks i. $ y = \sin gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x . \cos gx $ ii. $ y = \cos gx \rightarrow y^\prime = -g^\prime x .\sin gx $ iii. $ y = \tan gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x . \sec ^2 gx $ iv. $ y = \cot gx \rightarrow y^\prime = -g^\prime x. \csc ^2 gx $ v. $ y = \sec gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x . \sec gx . \tan gx $ vi. $ y = \csc gx \rightarrow y^\prime = -g^\prime x . \csc gx . \cot gx $ Berikut rumus-rumus turunan fungsi trigonometri yang lebih kompleks dan ada pangkatnya i. $ y = \sin ^{n } gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x . n . \sin ^{n-1} gx . \cos gx $ ii. $ y = \cos ^{n } gx \rightarrow y^\prime = -g^\prime x .n. \cos ^{n -1 } gx . \sin gx $ iii. $ y = \tan ^{n } gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x . n \tan ^{n - 1 } gx . \sec ^2 gx $ iv. $ y = \cot ^{n } gx \rightarrow y^\prime = -g^\prime x. n. \cot ^{n -1} gx . \csc ^2 gx $ v. $ y = \sec ^{n } gx $ $ \rightarrow y^\prime = g^\prime x . n. \sec ^{n -1 } gx . \sec gx . \tan gx $ vi. $ y = \csc ^{n } gx $ $ \rightarrow y^\prime = -g^\prime x . n.\csc ^{n -1} gx . \csc gx . \cot gx $ Catatan bentuk $ \sin ^{n } gx = [\sin gx ]^n $ Untuk pembuktiannya rumus-rumus turunan fungsi trigonometri yang lebih kompleks ini, kita menggunakan "aturan rantai turunan fungsi". Dari rumus-rumus turunan fungsi trigonometri di atas, untuk memudahkan dalam menentukan turunannya, ingat singkatan "SuPaTri" dengan kepanjangannya "Sudut Pangkat Trigonometri" yang artinya turunkan sudutnya dulu, lalu pangkatnya dan terakhir turunkan trigonometrinya. Jika tidak ada pangkatnya $n$, maka langsung gunakan "SuTri" saja. Contoh 2. Tentukan turunan fungsi trigonometri berikut. a. $ y = \sin 3x^2 + 2x - 5 $ b. $ y = \cot x^2 - x + 7 $ c. $ y = \sec 5x^3 + 9 $ Penyelesaian a. misalkan $ gx = 3x^2 + 2x - 5 \rightarrow g^\prime x = 6x + 2 $ *. Menentukan turunannya. $ \begin{align} y & = \sin 3x^2 + 2x - 5 \\ y & = \sin gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x . \cos gx \\ y^\prime & = 6x + 2 . \cos 3x^2 + 2x - 5 \end{align} $ Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = 6x + 2 \cos 3x^2 + 2x - 5 $ b. misalkan $ gx = x^2 - x + 7 \rightarrow g^\prime x = 2x-1 $ *. Menentukan turunannya. $ \begin{align} y & = \cot x^2 - x + 7 \\ y & = \cot gx \rightarrow y^\prime = -g^\prime x. \csc ^2 gx \\ y^\prime & = -2x-1 . \csc ^2 x^2 - x + 7 \end{align} $ Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = -2x-1 \csc ^2 x^2 - x + 7 $ c. misalkan $ gx = 5x^3 + 9 \rightarrow g^\prime x = 15x^2 $ *. Menentukan turunannya. $ \begin{align} y & = \sec 5x^3 + 9 \\ y & = \sec gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x . \sec gx . \tan gx \\ y^\prime & = 15x^2 . \sec 5x^3 + 9 . \tan 5x^3 + 9 \end{align} $ Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = 15x^2 \sec 5x^3 + 9 \tan 5x^3 + 9 $ 3. Tentukan turunan fungsi trigonometri berikut a. $ y = \cos ^ 3 2x^3 - 5x + 2 $ b. $ y = \csc ^ 5 x^4 + 5 $ Penyelesaian a. misalkan $ gx = 2x^3 - 5x + 2 \rightarrow g^\prime x = 6x - 5 $ *. Menentukan turunannya. $ \begin{align} y & = \cos ^ 3 2x^3 - 5x + 2 \\ y & = \cos ^{n } gx \\ y^\prime & = -g^\prime x .n. \cos ^{n -1 } gx . \sin gx \\ y^\prime & = -6x-5 . 3 . \cos ^{3 -1 } 2x^3 - 5x + 2 . \sin 2x^3 - 5x + 2 \\ & = -18x-15 \cos ^{2 } 2x^3 - 5x + 2 \sin 2x^3 - 5x + 2 \\ \end{align} $ Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = -18x-15 \cos ^{2 } 2x^3 - 5x + 2 \sin 2x^3 - 5x + 2 $ Hasil akhirnya bisa diubah kebentuk lain dengan menggunakan rumus trigonometri sudut rangkap, yaitu $ \sin 2 gx = 2 \sin gx \cos gx \, $ atau $ \sin gx \cos gx = \frac{1}{2} \sin 2 gx \, $ . Proses modifikasi ini biasanya dilakukan untuk soal-soal yang menggunakan sistem pilihan ganda. Jika bentuk pertama tidak ada di pilihan, maka hasilnya kita modifikasi lagi dengan persamaan trigonometri yang ada sehingga jawaban kita ada pada pilihan. *. Kita modifikasi , $ \begin{align} y^\prime & = -18x-15 \cos ^{2 } 2x^3 - 5x + 2 \sin 2x^3 - 5x + 2 \\ & = -18x-15 \cos 2x^3 - 5x + 2 \cos 2x^3 - 5x + 2 \sin 2x^3 - 5x + 2 \\ & = -18x-15 \cos 2x^3 - 5x + 2 [\cos 2x^3 - 5x + 2 \sin 2x^3 - 5x + 2 ] \\ & = -18x-15 \cos 2x^3 - 5x + 2 [\frac{1}{2}.\sin 22x^3 - 5x + 2 ] \\ & = -18x-15 \cos 2x^3 - 5x + 2 [\frac{1}{2}.\sin 4x^3 - 10x + 4 ] \\ & = -\frac{1}{2}18x-15 \cos 2x^3 - 5x + 2 . \sin 4x^3 - 10x + 4 \end{align} $ Sehingga bentuk lain dari turunannya adalah $ y^\prime = -\frac{1}{2}18x-15 \cos 2x^3 - 5x + 2 \sin 4x^3 - 10x + 4 $ b. misalkan $ gx = x^4 + 5 \rightarrow g^\prime x = 4x^3 $ *. Menentukan turunannya. $ \begin{align} y & = \csc ^ 5 x^4 + 5 \\ y & = \csc ^{n } gx \\ y^\prime & = -g^\prime x . n.\csc ^{n -1} gx . \csc gx . \cot gx \\ y^\prime & = -x^4+5 . 5.\csc ^{5 -1} x^4 + 5 . \csc x^4 + 5 . \cot x^4 + 5 \\ & = -5x^4+25 \csc ^{4} x^4 + 5 \csc x^4 + 5 \cot x^4 + 5 \end{align} $ Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = -5x^4+25 \csc ^{4} x^4 + 5 \csc x^4 + 5 \cot x^4 + 5 $ 4. Tentukan turunan fungsi trigonometri $ y = \sqrt{ \sin x^2 + 5x - 1 } $ ? Penyelesaian *. Fungsinya $ y = \sqrt{ \sin x^2 + 5x - 1 } \rightarrow y = [\sin x^2 + 5x - 1]^\frac{1}{2} $ misalkan $ gx = x^2 + 5x - 1 \rightarrow g^\prime x = 2x + 5 $ *. Menentukan turunannya. $ \begin{align} y & = \sqrt{ \sin x^2 + 5x - 1 } \rightarrow y = [\sin x^2 + 5x - 1]^\frac{1}{2} \\ y & = \sin ^{n } gx = [\sin gx ]^{n } \\ y^\prime & = g^\prime x . n . [\sin gx ]^{n-1} . \cos gx \\ y^\prime & = 2x + 5 . \frac{1}{2} . [\sin x^2 + 5x - 1 ]^{\frac{1}{2}-1} . \cos x^2 + 5x - 1 \\ & = 2x + 5 . \frac{1}{2} . [\sin x^2 + 5x - 1 ]^{-\frac{1}{2}} . \cos x^2 + 5x - 1 \\ & = 2x + 5 . \frac{1}{2} . \frac{1}{[\sin x^2 + 5x - 1 ]^{\frac{1}{2}}} . \cos x^2 + 5x - 1 \\ & = 2x + 5 . \frac{1}{2} . \frac{1}{ \sqrt{ \sin x^2 + 5x - 1 }} . \cos x^2 + 5x - 1 \\ & = \frac{2x + 5\cos x^2 + 5x - 1 }{ 2\sqrt{ \sin x^2 + 5x - 1 }} \end{align} $ Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = \frac{2x + 5\cos x^2 + 5x - 1 }{ 2\sqrt{ \sin x^2 + 5x - 1}} $ 5. Tentukan turunan fungsi trigonometri $ y = \sqrt{ \cos ^ 5 3x^2 - 2x } $ ? Penyelesaian *. Fungsinya $ y = \sqrt{ \cos ^ 5 3x^2 - 2x } \rightarrow y = [\cos 3x^2 - 2x]^\frac{5}{2} $ misalkan $ gx = 3x^2 - 2x \rightarrow g^\prime x = 6x - 2 $ *. Menentukan turunannya. $ \begin{align} y & = \sqrt{ \cos ^ 5 3x^2 - 2x } \rightarrow y = [\cos 3x^2 - 2x]^\frac{5}{2} \\ y & = \cos ^{n } gx = [\cos gx ]^{n } \\ y^\prime & = -g^\prime x . n . [\cos gx ]^{n-1} . \sin gx \\ y^\prime & = -6x-2 . \frac{5}{2} . [\cos 3x^2 - 2x ]^{\frac{5}{2}-1} . \sin 3x^2 - 2x \\ & = -3x-1 . 5 . [\cos 3x^2 - 2x ]^{\frac{3}{2}} . \sin 3x^2 - 2x \\ & = -15x-5 \sqrt{\cos ^3 3x^2 - 2x} \sin 3x^2 - 2x \end{align} $ Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = -15x-5 \sqrt{\cos ^3 3x^2 - 2x} \sin 3x^2 - 2x $ Pembuktian Rumus Dasar Turunan Fungsi Trigonometri Untuk membuktikan rumus-rumus dasar turunan fungsi trigonometri di atas, kita menggunakan definisi turunan, yaitu $ f^\prime x = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{fx+ h - fx}{h} \, \, $ jika limitnya ada. $\spadesuit $ Pembuktian rumus $ y = \sin x \rightarrow y^\prime = \cos x $ *. Ingat bentuk $ \sin A+B = \sin A \cos B + \cos A \sin B $ Sehingga $ fx+h = \sin x + h = \sin x \cos h + \cos x \sin h $ *. Rumus $ \cos px = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x $ Sehingga $ \cos h = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h $ bentuk $ \cos h - 1 = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h - 1 = - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h = - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h $ *. Menentukan penyelesaiannya, $ \begin{align} f^\prime x & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{fx+h - fx }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x \cos h + \sin x - \cos x \sin h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x \cos h - 1 + \cos x \sin h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x \cos h - 1 }{h} + \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x \sin h }{h} \\ & = \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos h - 1 }{h} + \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h }{h} + \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} . - 2\sin \frac{1}{2} h + \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \sin x . \frac{1}{2}. - 2\sin \frac{1}{2} 0 + \cos x . 1 \\ & = \sin x . \frac{1}{2}. - 2\sin 0 + \cos x \\ & = \sin x . \frac{1}{2}. 0 + \cos x \\ & = 0 + \cos x \\ & = \cos x \end{align} $ Sehingga terbukti $ y = \sin x \rightarrow y^\prime = \cos x $ $\spadesuit $ Pembuktian rumus $ y = \cos x \rightarrow y^\prime = -\sin x $ *. Ingat bentuk $ \cos A+B = \cos A \cos B - \sin A \sin B $ Sehingga $ fx+h = \cos x + h = \cos x \cos h - \sin x \sin h $ *. Rumus $ \cos px = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x $ Sehingga $ \cos h = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h $ bentuk $ \cos h - 1 = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h - 1 = - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h = - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h $ *. Menentukan penyelesaiannya, $ \begin{align} f^\prime x & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{fx+h - fx }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x \cos h - \sin x \sin h - \cos x }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x \cos h - \cos x - \sin x \sin h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x \cos h - 1 - \sin x \sin h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x \cos h - 1 }{h} - \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x \sin h }{h} \\ & = \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos h - 1 }{h} - \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h }{h} - \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} . - 2\sin \frac{1}{2} h - \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \cos x . \frac{1}{2}. - 2\sin \frac{1}{2} 0 - \sin x . 1 \\ & = \cos x . \frac{1}{2}. - 2\sin 0 - \sin x \\ & = \cos x . \frac{1}{2}. 0 - \sin x \\ & = 0 - \sin x \\ & = -\sin x \end{align} $ Sehingga terbukti $ y = \cos x \rightarrow y^\prime = -\sin x $ $\spadesuit $ Pembuktian rumus $ y = \tan x \rightarrow y^\prime = \sec ^2 x $ *. Ingat Rumus Trigonometri $ \cos A+B = \cos A \cos B - \sin A \sin B $ $ \sin A+B = \sin A \cos B + \cos A \sin B $ Identitas trigonometri $ \cos ^2 x + \sin ^2 x = 1 $ $ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} \, $ dan $ \sec A = \frac{1}{\cos A } $ Sehingga fungsinya $ fx = \tan x $ $ fx+h = \tan x+h = \frac{\sin x+h}{\cos x+h} = \frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h}{\cos x \cos h - \sin x \sin h} $ $ fx = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $ *. Menentukan penyelesaiannya, $ \begin{align} f^\prime x & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{fx+h - fx }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h}{\cos x \cos h - \sin x \sin h} - \frac{\sin x}{\cos x} }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\cos x\sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x \cos x \cos h - \sin x \sin h }{\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x \sin x \cos h + \cos ^2 x \sin h - \cos x \sin x \cos h + \sin ^2 x \sin h }{h\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos ^2 x \sin h + \sin ^2 x \sin h }{h\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos ^2 x + \sin ^2 x \sin h }{h\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \, \, \, \, \, \text{identitas} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ 1 \sin h }{h\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ \sin h }{h} }{\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \frac{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} }{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \frac{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} }{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \cos x \displaystyle \lim_{h \to 0 } \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \frac{ 1 }{ \cos x . \cos x \cos 0 - \sin x \sin 0 } \\ & = \frac{ 1 }{ \cos x . \cos x 1 - \sin x .0 } \\ & = \frac{ 1 }{ \cos x . \cos x - 0 } \\ & = \frac{ 1 }{ \cos x . \cos x } \\ & = \frac{ 1 }{ \cos x } . \frac{ 1 }{ \cos x } \\ & = \sec x . \sec x \\ & = \sec ^2 x \end{align} $ Sehingga terbukti $ y = \tan x \rightarrow y^\prime = \sec ^2 x $ $\spadesuit $ Pembuktian rumus $ y = \cot x \rightarrow y^\prime = -\csc ^2 x $ *. Ingat Rumus Trigonometri $ \cos A+B = \cos A \cos B - \sin A \sin B $ $ \sin A+B = \sin A \cos B + \cos A \sin B $ Identitas trigonometri $ \cos ^2 x + \sin ^2 x = 1 $ $ \cot A = \frac{\cos A}{\sin A} \, $ dan $ \csc A = \frac{1}{\sin A } $ Sehingga fungsinya $ fx = \cot x $ $ fx+h = \cot x+h = \frac{\cos x+h}{\sin x+h} = \frac{\cos x \cos h - \sin x \sin h}{\sin x \cos h + \cos x \sin h} $ $ fx = \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} $ *. Menentukan penyelesaiannya, $ \begin{align} f^\prime x & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{fx+h - fx }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\cos x \cos h - \sin x \sin h}{\sin x \cos h + \cos x \sin h} - \frac{\cos x}{\sin x} }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\sin x \cos x \cos h - \sin x \sin h - \cos x \sin x \cos h + \cos x \sin h }{\sin x\sin x \cos h + \cos x \sin h } - \frac{\cos x}{\sin x} }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ \sin x \cos x \cos h - \sin ^2 x \sin h - \sin x \cos x \cos h - \cos ^2 x \sin h }{\sin x\sin x \cos h + \cos x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ - \sin ^2 x \sin h - \cos ^2 x \sin h }{\sin x\sin x \cos h + \cos x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ - \sin ^2 x + \cos ^2 x \sin h }{\sin x\sin x \cos h + \cos x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ - 1 \sin h }{\sin x\sin x \cos h + \cos x \sin h } - \frac{\cos x}{\sin x} }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ - \sin h }{\sin x\sin x \cos h + \cos x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \frac{ - 1 }{\sin x\sin x \cos h + \cos x \sin h } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ - 1 }{\sin x\sin x \cos h + \cos x \sin h } \\ & = 1. \frac{ - 1 }{\sin x\sin x \cos 0 + \cos x \sin 0 } \\ & = \frac{ - 1 }{\sin x\sin x .1 + \cos x .0 } \\ & = \frac{ - 1 }{\sin x\sin x } \\ & = -\frac{ 1 }{\sin x } . \frac{ 1 }{\sin x } \\ & = - \csc x . \csc x \\ & = - \csc ^2 x \end{align} $ Sehingga terbukti $ y = \cot x \rightarrow y^\prime = -\csc ^2 x $ $\spadesuit $ Pembuktian rumus $ y = \sec x \rightarrow y^\prime = \sec x \tan x $ *. Ingat Rumus Trigonometri $ \cos A+B = \cos A \cos B - \sin A \sin B $ $ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} \, $ dan $ \sec x A = \frac{1}{\cos A } $ Sehingga fungsinya $ fx = \sec x $ $ fx+h = \sec x+h = \frac{1}{\cos x+h} = \frac{1}{\cos x \cos h - \sin x \sin h} $ $ fx = \sec x = \frac{1}{\cos x} $ *. Rumus $ \cos px = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x $ Sehingga $ \cos h = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h $ bentuk $ 1 - \cos h = 1 - 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h = 2\sin ^2 \frac{1}{2} h = 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h $ *. Menentukan penyelesaiannya, $ \begin{align} f^\prime x & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{fx+h - fx }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{1}{\cos x \cos h - \sin x \sin h} - \frac{1}{\cos x} }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\cos x - \cos x \cos h - \sin x \sin h }{\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\cos x - \cos x \cos h + \sin x \sin h }{\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\cos x 1 - \cos h + \sin x \sin h }{\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\cos x . 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h + \sin x \sin h }{\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ \cos x . 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h + \sin x \sin h }{h} }{\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ \cos x . 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h }{h} + \frac{ \sin x \sin h }{h} }{\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x . 2\sin \frac{1}{2} h \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} + \frac{ \sin x \sin h }{h} }{\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \frac{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \cos x . 2\sin \frac{1}{2} h \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} + \displaystyle \lim_{h \to 0 } \sin x \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} }{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \frac{ \cos x . 2 \sin \frac{1}{2} .0 . \frac{1}{2} + \sin x . 1 }{ \cos x \cos x \cos 0 - \sin x \sin 0 } \\ & = \frac{ \cos x . 2 \sin 0 . \frac{1}{2} + \sin x }{ \cos x \cos x . 1 - \sin x . 0 } \\ & = \frac{ \cos x . 2 0 . \frac{1}{2} + \sin x }{ \cos x \cos x - 0 } \\ & = \frac{ 0 + \sin x }{ \cos x \cos x } \\ & = \frac{ 1 }{ \cos x } . \frac{ \sin x }{ \cos x } \\ & = \sec x \tan x \end{align} $ Sehingga terbukti $ y = \sec x \rightarrow y^\prime = \sec x \tan x $ $\spadesuit $ Pembuktian rumus $ y = \csc x \rightarrow y^\prime = -\csc x \cot x $ *. Ingat Rumus Trigonometri $ \sin A+B = \sin A \cos B + \cos A \sin B $ $ \cot A = \frac{\cos A}{\sin A} \, $ dan $ \csc x A = \frac{1}{\sin A } $ Sehingga fungsinya $ fx = \csc x $ $ fx+h = \csc x+h = \frac{1}{\sin x+h} = \frac{1}{\sin x \cos h + \cos x \sin h} $ $ fx = \csc x = \frac{1}{\sin x} $ *. Rumus $ \cos px = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x $ Sehingga $ \cos h = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h $ bentuk $ 1 - \cos h = 1 - 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h = 2\sin ^2 \frac{1}{2} h = 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h $ *. Menentukan penyelesaiannya, $ \begin{align} f^\prime x & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{fx+h - fx }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{1}{\sin x \cos h + \cos x \sin h} - \frac{1}{\sin x} }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\sin x - \sin x \cos h + \cos x \sin h }{\sin x \sin x \cos h + \cos x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\sin x - \sin x \cos h - \cos x \sin h }{\sin x \sin x \cos h + \cos x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\sin x 1 - \cos h - \cos x \sin h }{\sin x \sin x \cos h + \cos x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\sin x 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h - \cos x \sin h }{\sin x \sin x \cos h + \cos x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ \sin x 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h - \cos x \sin h }{h} }{\sin x \sin x \cos h + \cos x \sin h } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ \sin x 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h }{h} - \frac{ \cos x \sin h }{h} }{\sin x \sin x \cos h + \cos x \sin h } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x 2\sin \frac{1}{2} h . \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} - \cos x \frac{ \sin h }{h} }{\sin x \sin x \cos h + \cos x \sin h } \\ & = \frac{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \sin x 2\sin \frac{1}{2} h . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} - \displaystyle \lim_{h \to 0 } \cos x \displaystyle \lim_{h \to 0 }\frac{ \sin h }{h} }{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \sin x \sin x \cos h + \cos x \sin h } \\ & = \frac{ \sin x 2\sin \frac{1}{2} . 0 . \frac{1}{2} - \cos x . 1 }{ \sin x \sin x \cos 0 + \cos x \sin 0 } \\ & = \frac{ \sin x 2\sin 0 . \frac{1}{2} - \cos x }{ \sin x \sin x . 1 + \cos x . 0 } \\ & = \frac{ \sin x 2 . 0 . \frac{1}{2} - \cos x }{ \sin x \sin x + 0 } \\ & = \frac{ 0 - \cos x }{ \sin x \sin x } \\ & = \frac{ - \cos x }{ \sin x \sin x } \\ & = - \frac{ 1 }{ \sin x } . \frac{ \cos x }{ \sin x } \\ & = - \csc x \cot x \end{align} $ Sehingga terbukti $ y = \csc x \rightarrow y^\prime = -\csc x \cot x $ Catatan nilai $ \sin 0 = 0 \, $ dan $ \, \cos 0 = 1 $ Pembuktian Rumus Turunan Fungsi Trigonometri kompleks Untuk pembuktian rumus turunan fungsi trigonometri yang lebih kompleks, kita menggunakan aturan rantai turunan fungsi. $\spadesuit $ Pembuktian rumus $ y = \sin gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x \cos gx $ *. Permisalan $ z = gx \rightarrow \frac{dz}{dx} = g^\prime x $ $ y = \sin gx = \sin z \rightarrow \frac{dy}{dz} = \cos z $ *. Menentukan penyelesaiannya, $ \begin{align} y & = \sin gx \\ y^\prime & = \frac{dy}{dx} \\ & = \frac{dy}{dz} . \frac{dz}{dx} \\ & = \cos z . g^\prime x \\ & = g^\prime x \cos z \\ & = g^\prime x \cos gx \end{align} $ Sehingga terbukti $ y = \sin gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x \cos gx $ $\spadesuit $ Pembuktian rumus $ y = \sin ^{n } gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x . n . \sin ^{n-1} gx . \cos gx $ *. Permisalan $ y = \sin ^{n } gx = [\sin gx ]^n $ $ z = gx \rightarrow \frac{dz}{dx} = g^\prime x $ $ p = \sin gx = \sin z \rightarrow \frac{dp}{dz} = \cos z = \cos gx $ $ y = [\sin gx ]^n = [ p ]^n \rightarrow \frac{dy}{dp} = n . p ^ {n-1} = n . [ \sin gx ]^{n-1} = n. \sin ^{n-1} gx $ *. Menentukan penyelesaiannya, $ \begin{align} y & = \sin ^{n } gx = [\sin gx ]^n \\ y^\prime & = \frac{dy}{dx} \\ & = \frac{dy}{dp} . \frac{dp}{dz} . \frac{dz}{dx} \\ & = n. \sin ^{n-1} gx . \cos gx . g^\prime x \\ & = g^\prime x . n. \sin ^{n-1} gx . \cos gx \end{align} $ Sehingga terbukti $ y = \sin ^{n } gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x . n . \sin ^{n-1} gx . \cos gx $ Catatan untuk pembuktian yang lainnya caranya hampir sama dengan aturan rantai di atas. A. Turunan TrigonometriRumus turunan dari fungsi trigonometri sin x , cos x , tan x , cot x , sec x dan csc x , dalam kalkulus, disajikan bersama beberapa contoh fungsi Turunan dari Sin dari f x = sin x adalah f x = cos x2. Turunan dari cos dari f x = cos x adalah f x = – sin x3. Turunan tan dari f x = tan x adalah f x = Sec 2x4. Turunan cot dari f x = cot x adalah f x = – csc 2 x5. Turunan dari Sec dari f x = sec x adalah f x = sec x tan x6. Turunan dari csc dari f x = csc x adalah f x = – csc x cot xContoh 1 Temukan turunan pertama dari f x = x sin x Solusi untuk Contoh 1Misalkan g x = x dan h x = sin x, fungsi f dapat dianggap sebagai hasil dari fungsi g dan h f x = g x h x. Oleh karena itu, kita menggunakan aturan produk, f x = g x h’ x + h x g x, untuk membedakan fungsi f sebagai berikutf x = x cos x + sin x * 1 = x cos x + sin xContoh 2 Temukan turunan pertama dari f x = tan x + Sec xSolusi untuk Contoh 2Misalkan g x = tan x dan h x = sec x, fungsi f dapat dianggap sebagai jumlah fungsi g dan h f x = g x + h x. Oleh karena itu, kita menggunakan aturan jumlah, f x = g’ x + h x, untuk membedakan fungsi f sebagai berikutf x = sec 2 x + Sec x tan x = Sec x Sec x + tan xContoh 3 Temukan turunan pertama dari f x = sin x / [1 + cos x]Solusi untuk Contoh 3Misalkan g x = sin x dan h x = 1 + cos x, fungsi f dapat dianggap sebagai hasil dari fungsi g dan h f x = g x / h x. Oleh karena itu, kita menggunakan aturan , f x = [h x g’ x – g x h x] / h x 2 , untuk membedakan fungsi f sebagai berikutg x = cos xh x = – sin xf x = [h x g’ x – g x h x] / h x 2= [1 + cos x cos x – sin x - sin x] / 1 + cos x 2= [cos x + cos 2 x + sin 2 x] / 1 + cos x 2Gunakan identitas trigonometri cos 2 x + sin 2 x = 1 untuk mempermudah persamaan di atasf x = [cos x + 1] / 1 + cos x 2 = 1 / [cos x + 1]B. Perluasan Rumus TrigonometriJika u adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap x dengan u’ adalah turunan u terhadap x, maka 1. fx = sin u → f x = cos u . u’ 2. fx = cos u → f x = −sin u . u’ 3. fx = tan u → f x = sec2u . u’ 4. fx = cot u → f x = −csc2 u . u’ 5. fx = sec u → f x = sec u tan u . u’ 6. fx = csc u → f x = −csc u cot u . u’Contoh Soal Diferensial Fungsi Trigonometri dan PenyelesaiannyaContoh 1Tentukan turunan dari y = sin 6x ! Penyelesaian Misalkan u = 6x ⇒ u’ = 6y’ = cos u . u’ y’ = cos 6x . 6 y’ = 6cos 6xContoh 2Tentukan turunan dari y = cos x2Penyelesaian Misalkan u = x2 ⇒ u’ = 2xy’ = −sin u . u’ y’ = −sin x2 . 2x y’ = −2x sin x2Contoh 3 Tentukan turunan dari y = tan 3x+2 Penyelesaian Misalkan u = 3x + 2 ⇒ u’ = 3y’ = sec2u . u’ y’ = sec23x+2 . 3 y’ = 3sec23x+2Contoh 4 Tentukan turunan dari y = sec 6xPenyelesaian Misalkan u = 6x ⇒ u’ = 6y’ = sec u tan u . u’ y’ = sec 6x tan 6x . 6 y’ = 6sec 6x tan 6xC. Turunan y = [ux]nMisalkan y = [ux]n dengan ux adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap x. Turunan y terhadap x dapat dinyatakan sebagai berikut y′=n[ux]n− 5 Tentukan turunan dari y = cos56x Penyelesaian y = [cos 6x]5Misalkan ux = cos 6x ⇒ u'x = −6sin 6x n = 5y’ = n[ux]n-1. u'x y’ = 5[cos 6x]5-1. −6sin 6x y’ = −30 cos46x . sin 6xContoh 6 Tentukan turunan dari y = sin63x−1 Penyelesaian y = [sin 3x−1]6Misalkan ux = sin 3x−1 ⇒ u'x = 3cos 3x−1 n = 6y’ = n[ux]n-1. u'x y’ = 6[sin 3x−1]6-1 . 3cos 3x−1 y’ = 18 sin53x−1 cos 3x−1Catatan Hasil akhir masih bisa diubah-ubah bentuknya menyesuaikan jawaban yang diminta dari soal, yaitu dengan menggunakan sifat-sifat atau identitas dari Soal Turunan Fungsi TrigonometriLatihan 1Tentukan turunan dari y = sin x2Jawab y’ = cos x2 . 2xy = 2x cos x2Latihan 2Tentukan turunan dari y = cos 3x+1 Jawab y’ = −sin 3x+1 . 3 y’ = −3sin 3x+1Latihan 3Tentukan turunan dari fx = tan 12x Jawab f x = sec212x . 12 f x = 12sec212xLatihan 4Tentukan turunan y = sin x2+3x−1 Jawab y’ = cos x2+3x−1 . 2x+3 y’ = 2x+3 cosx2+3x−1 Latihan 5Tentukan turunan dari y = sec 2x Jawab y’ = sec 2x tan 2x . 2 y’ = 2sec 2x tan 2x Latihan 6Tentukan turunan dari y = cos 2x+14 Jawab y’ = −sin 2x+14 . 42x+14-1 . 2 y’ = −82x+13 sin2x+14Latihan 7Tentukan turunan dari y = tan53x Jawab y’ = 5tan43x . sec23x . 3 y’ = 15 tan43x sec23x Latihan 8Tentukan turunan dari y = cos45x+2 Jawab y’ = 4cos35x+2 . −sin 5x+2 . 5 y’ = −20 cos35x+2 sin5x+2 Latihan 9Tentukan turunan y = sin6x2+3x Jawab y’ = 6 sin5x2+3x . cosx2+3x. 2x + 3 y’ = 62x + 3 sin5x2+3x . cosx2+3xLatihan 10Tentukan f x dari a. fx = 3sin 2x + 4cos x Jawab f x = 3cos 2x . 2 + 4 . −sin x f x = 6cos 2x − 4sin = tan 2x − csc x Jawab f x = sec22x . 2 − −csc x ctg x f x = 2sec22x + csc x ctgc. fx = sec 4x + tan x+1 Jawab f x = sec 4x tan 4x . 4 + sec2x+1 . 1 f x = 4sec 4x tan 4x + sec2x + 1Latihan 11Tentukan turunan dari y = x2cos 2x Jawab Misalkan u = x2 ⇒ u’ = 2x v = cos 2x ⇒ v’ = −2 sin 2xy’ = u’.v + y’ = 2x . cos 2x + x2 . −2 sin 2x y’ = 2x cos 2x − 2x2 sin 2x y’ = 2xcos 2x − x sin 2xLatihan 12Tentukan turunan dari fx = 1 + sin2x7 Jawab ux = 1 + sin2x ⇒ u'x = 2sin x cos x n = 7f x = 71 + sin2x7-1 . 2sin x cos x f x = 7 1 + sin2x6 . sin 2x f x = 7sin 2x 1 + sin2x6SummaryArticle NameDiferensial Fungsi Trigonometri Beserta ContohnyaDescriptionRumus turunan dari fungsi trigonometri sin x , cos x , tan x , cot x , sec x dan csc x , dalam kalkulus, disajikan bersama beberapa contoh fungsi NameGuru SipilPublisher Logo - Rumus turunan trigonometri berisi persamaan turunan yang melibatkan fungsi-fungsi trigonometri seperti sin, cos, tan, cot, sec dan fungsi trigonometri lainnya. Turunan fungsi trigonometri adalah proses matematis untuk menemukan turunan pada suatu fungsi trigonometri atau pun tingkat perubahan terkait dengan suatu variabelnya. Misal turunan fx ditulis f’a yang artinya tingkat perbahan fungsi di titik a. Fungsi trigonometri yang biasa digunakan adalah sin x,cos x,tan x. Turunan fungsi trigonometri diperoleh dari limit fungsi trigonometri. Karena turunan merupakan bentuk khusus dari limit. Baca JugaAnaknya Dihina Henny Rahman, Ibu Larissa Chou Beri Sindiran Pedas Rumus Turunan Fungsi Trigonometri Berikut ialah beberapa turunan dasar trigonometri yang harus diketahui sebelum memecahkan persoalan turunan trigonometri f x = sin x → f x = cos x f x = cos x → f x = −sin x f x = tan x → f x = sec2 x Baca JugaLarissa Chou dan Henny Rahman Berseteru Di Atas Langit Masih Ada Langit f x = cot x → f x = −csc2x f x = sec x → f x = sec x . tan x f x = csc x → f x = −csc x . cot x. Berdasarkan hal tersebut, diperoleh rumusan turunan fungsi trigonometri sebagai berikut A. Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri I Misalkan u merupakan fungsi yang bisa diturunkan terhadap x, dimana u’ yaitu turunan u terhadap x, maka rumus turunannya akan menjadi f x = sin u → f x = cos u . u’ f x = cos u → f x = −sin u . u’ f x = tan u → f x = sec2u . u’ f x = cot u → f x = −csc2 u . u’ f x = sec u → f x = sec u tan u . u’ f x = csc u → f x = −csc u cot u . u’. B. Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri II Misalkan variabel sudut trigonometrinya ax+b, dimana a dan b yaitu bilangan real dengan a≠0, maka turunan fungsi trigonometrinya yaitu,f x = sin ax + b → f x = a cos ax + b f x = cos ax + b → f x = -a sin ax + b f x = tan ax + b → f x = a sec2 ax +b f x = cot ax + b → f x = -a csc2 ax+b f x = sec ax + b → f x = a tan ax + b . sec ax + b f x = csc ax + b → f x = -a cot ax + b . csc ax + b. Contoh Soal Turunan Trigonometri Soal 1 Tentukan turunan y = cos x2 Jawab Misal u = x2 ⇒ u’ = 2x y’ = −sin u . u’ y’ = −sin x2 . 2x y’ = −2x sin x2 Soal 2 Tentukan turunan y = sin 4x ! Jawab Misal u = 4x ⇒ u’ = 4 y’ = cos u . u’ y’ = cos 4x . 4 y’ = 4cos 4x Demikianlah penjelasan tentang turunan fungsi trigonometri, semoga bermanfaat. Kontributor Titi Sabanada

turunan fungsi trigonometri sec x